You cycled eastwards 6 kilometers, then turning right you cycled 5 km . You turned right again and cycled 6 km .How far were you then from the starting point?

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা গতিপথটিকে বিশ্লেষণ করব। ধরা যাক, সাইকেল চালানো শুরু করার স্থানটি হলো মূলবিন্দু (0,0)।

১. প্রথমে সাইকেলচালক পূর্বদিকে ৬ কিলোমিটার যায়।
এই ধাপের পর, তার অবস্থান হয় (6,0)।

২. এরপর সে ডানদিকে মোড় নিয়ে ৫ কিলোমিটার যায়। পূর্বদিকে মুখ করে ডানদিকে মোড় নিলে দক্ষিণ দিকে যেতে হয়।
এই ধাপের পর, তার অবস্থান হয় (6, -5)।

৩. এরপর সে আবার ডানদিকে মোড় নিয়ে ৬ কিলোমিটার যায়। দক্ষিণ দিকে মুখ করে ডানদিকে মোড় নিলে পশ্চিম দিকে যেতে হয়।
এই ধাপের পর, তার অবস্থান হয় (6-6, -5) = (0, -5)।

সুতরাং, সাইকেলচালকটির শেষ অবস্থান হলো (0,-5) এবং শুরুর অবস্থান ছিল (0,0)।

শুরু ও শেষ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। দুটি বিন্দুর (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)।

এখানে, (x₁, y₁) = (0,0) এবং (x₂, y₂) = (0,-5)।
দূরত্ব = \(\sqrt{(0-0)^2 + (-5-0)^2}\) কিমি
= \(\sqrt{0^2 + (-5)^2}\) কিমি
= \(\sqrt{0 + 25}\) কিমি
= \(\sqrt{25}\) কিমি
= 5 কিমি।

চিত্র অঙ্কন করেও এই সমস্যাটি সহজেই বোঝা যায়: সাইকেলচালকটি প্রথমে পূর্ব দিকে ৬ কিমি যায়। এরপর ডানদিকে মোড় নিয়ে দক্ষিণ দিকে ৫ কিমি যায়। আবার ডানদিকে মোড় নিয়ে পশ্চিম দিকে ৬ কিমি যায়। এই গতিপথ একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করে, যেখানে সাইকেলচালকটি তার শুরুর বিন্দুর ঠিক দক্ষিণে ৫ কিমি দূরে অবস্থান করে। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৬ কিমি এবং প্রস্থ ৫ কিমি। প্রথম ও তৃতীয় যাত্রা (৬ কিমি পূর্ব এবং ৬ কিমি পশ্চিম) একে অপরের প্রভাব বাতিল করে দেয়, এবং শুধুমাত্র মাঝের যাত্রা (৫ কিমি দক্ষিণ) শুরুর বিন্দু থেকে সরণ ঘটায়।

দিক ও দূরত্বের এই ধরনের সমস্যাগুলোতে, যদি একই দূরত্ব বিপরীত দিকে অতিক্রম করা হয়, তবে সেই সরণ একে অপরকে বাতিল করে দেয়।

    
• প্রথম যাত্রা: পূর্ব দিকে ৬ কিমি।
    
• দ্বিতীয় যাত্রা: ডানদিকে মোড় নিয়ে দক্ষিণ দিকে ৫ কিমি।
    
• তৃতীয় যাত্রা: আবার ডানদিকে মোড় নিয়ে পশ্চিম দিকে ৬ কিমি।

এখানে, পূর্ব দিকের ৬ কিমি যাত্রা এবং পশ্চিম দিকের ৬ কিমি যাত্রা (বিপরীত দিক) একে অপরের প্রভাব বাতিল করে দেয়। অর্থাৎ, আনুভূমিকভাবে (পূর্ব-পশ্চিম অক্ষ বরাবর) কোনো নেট সরণ থাকে না।

সুতরাং, শুরুর বিন্দু থেকে সাইকেলচালকের কার্যকর সরণ শুধুমাত্র উল্লম্ব দিকে (দক্ষিণ দিকে) ঘটে, যা ৫ কিমি।

অতএব, সে শুরুর বিন্দু থেকে ৫ কিমি দূরে ছিল।